Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 2 тур» для 5-9 класса - сложность 2-4 с решениями

Испанский король решил перевесить по-своему портреты своих предшественников в круглой башне замка. Однако он хочет, чтобы за один раз меняли местами только два портрета, висящие рядом, причём это не должны быть портреты двух королей, один из которых царствовал сразу после другого. Кроме того, ему важно лишь взаимное расположение портретов, и два расположения, отличающиеся поворотом круга, он считает одинаковыми. Доказать, что как бы сначала ни висели портреты, король может по этим правилам добиться любого нового их расположения.

Задано такое натуральное число <i>A</i>, что для любого натурального <i>N</i>, делящегося на <i>A</i>, число <img width="22" height="18" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/78626/problem_78626_img_2.gif"> тоже делится на <i>A</i>. (<img width="22" height="18" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/78626/problem_78626_img_2.gif"> – число, состоящее из тех же цифр, что и <i>N</i>, но записанных в обратном порядке; например,  <img width="36" height="19" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/78626/problem_78626_img_3.gif"&gt...

Дана последовательность целых положительных чисел<i>X</i>₁,<i>X</i>₂...<i>X</i>_n, все элементы которой не превосходят некоторого числа<i>M</i>. Известно, что при всех<i>k</i>> 2<i>X</i>_k= |<i>X</i>_{k - 1}-<i>X</i>_{k - 2}|. Какой может быть максимальная длина этой последовательности?

Число <i>Y</i> получается из натурального числа <i>X</i> некоторой перестановкой его цифр. Известно, что  <i>X + Y</i> = 10²⁰⁰.  Доказать, что <i>X</i> делится на 50.