Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур» для 2-10 класса - сложность 2-3 с решениями
10 класс, 2 тур
НазадМожно ли расставить на окружности числа1, 2...12 так, чтобы разность между двумя рядом стоящими числами была 3, 4 или 5?
Дана таблица <i>n</i>×<i>n</i> клеток и такие натуральные числа <i>k</i> и <i>m > k</i>, что <i>m</i> и <i>n – k</i> взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>k</sub>, a</i><sub><i>k</i>+1</sub>, ..., <i>a<sub>m</sub>, a</i><sub><i>m</i>+1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>. Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке: <i>a</i><sub><i>m</i>+1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub>, a</i><sub><i>...
На каждой стороне треугольника<i>ABC</i>построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник<i>ABC</i>— равнобедренный.