Олимпиадные задачи из источника «9,10,11 класс, 1 тур» для 5-9 класса - сложность 2-5 с решениями

Какое максимальное число дамок можно поставить на чёрных полях шахматной доски размером 8×8 так, чтобы каждую дамку била хотя бы одна из остальных?

Доказать, что те натуральные <i>K</i>, для которых  <i>K^K</i> + 1  делится на 30, образуют арифметическую прогрессию. Найти её.

Внутри окружности расположен выпуклый пятиугольник (вершины могут лежать как внутри, так и на окружности). Доказать, что хотя бы одна из его сторон не больше стороны правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.

При каком значении<i>K</i>величина<i>A</i>_k=${\dfrac{19^k+66^k}{k!}}$максимальна?

Решить в натуральных числах систему

   <i>x + y = zt</i>,

   <i>z + t = xy</i>.