Олимпиадные задачи из источника «1965 год» для 5-9 класса - сложность 2 с решениями
Найдите все простые числа вида <i>P<sup>P</sup></i> + 1 (<i>P</i> – натуральное), содержащие не более 19 цифр.
Все целые числа от 1 до 2<i>n</i> выписаны в строчку. Затем к каждому числу прибавили номер того места, на котором оно стоит.
Доказать, что среди полученных сумм найдутся хотя бы две, дающие при делении на 2<i>n</i> одинаковый остаток.
Концы отрезка постоянной длины скользят по сторонам данного угла. Из середины этого отрезка к нему восставлен перпендикуляр. Докажите, что отрезок перпендикуляра от его начала до точки пересечения с биссектрисой угла имеет постоянную длину.
Шестизначное число делится на 37 и имеет хотя бы две различные цифры. Его первая и четвёртая цифры – не нули.
Докажите, что, переставив цифры в данном числе, можно получить другое число, тоже кратное 37 и не начинающееся с нуля.
В стране Иллирии некоторые пары городов связаны прямым воздушным сообщением. Докажите, что там есть два города, связанные с равным количеством других городов.
Дан треугольник<i>ABC</i>, в котором сторона<i>AB</i>больше<i>BC</i>. Проведены биссектрисы<i>AK</i>и<i>CM</i>(<i>K</i>лежит на<i>BC</i>,<i>M</i>лежит на<i>AB</i>). Доказать, что отрезок<i>AM</i>больше<i>MK</i>, а отрезок<i>MK</i>больше<i>KC</i>.
Шестизначное число делится на 37. Все его цифры различны. Доказать, что из тех же цифр можно составить и другое шестизначное число, кратное 37.
30 команд участвуют в розыгрыше первенства по футболу.
Доказать, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.
Дана прямая<i>a</i>и два непараллельных отрезка<i>AB</i>и<i>CD</i>по одну сторону от неё. Найти на прямой<i>a</i>такую точку<i>M</i>, чтобы треугольники<i>ABM</i>и<i>CDM</i>были равновелики.
Докажите следующий признак делимости на 37. Для того, чтобы узнать, делится ли число на 37, надо разбить его справа налево на группы по три цифры. Если сумма полученных трёхзначных чисел делится на 37, то и данное число делится на 37. (Слово "трёхзначные" употреблено условно: некоторые из групп могут начинаться с нулей и быть на самом деле двузначными или меньше; не трёхзначной будет и самая левая группа, если количество цифр нашего числа не кратно 3.)