Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур» для 6-8 класса - сложность 2-3 с решениями

Дан прямоугольный биллиард размером 26×1965 (сторона длины 1965 направлена слева направо, а сторона длины 26 – сверху вниз; лузы расположены в вершинах прямоугольника). Из нижней левой лузы под углом 45° к бортам выпускается шар. Доказать, что после нескольких отражений от бортов он упадет в верхнюю левую лузу. (Угол падения равен углу отражения.)

Дана последовательность...,<i>a</i>_-n,...,<i>a</i>_-1,<i>a</i>₀,<i>a</i>₁,...,<i>a</i>_n,... бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен${\frac{1}{4}}$суммы двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про которые известно, что они равны, не обязательно соседние).