Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 2 тур» для 7-10 класса - сложность 2-3 с решениями

При каких натуральных<i>a</i>существуют такие натуральные числа<i>x</i>и<i>y</i>, что(<i>x</i>+<i>y</i>)²+ 3<i>x</i>+<i>y</i>= 2<i>a</i>?

Через противоположные вершины<i>A</i>и<i>C</i>четырёхугольника<i>ABCD</i>проведена окружность, пересекающая стороны<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и<i>AD</i>соответственно в точках<i>M</i>,<i>N</i>,<i>P</i>и<i>Q</i>. Известно, что<i> BM = BN = DP = DQ = R </i>, где<i>R</i>— радиус данной окружности.

Доказать, что в таком случае сумма углов<i>B</i>и<i>D</i>данного четырёхугольника равна120^<tt>o</tt>.

В квадрате со стороной длины 1 выбрано 102 точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Доказать, что найдётся треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого меньше, чем 1/100.

Собрались 2<i>n</i>человек, каждый из которых знаком не менее чем с<i>n</i>присутствующими. Доказать, что можно выбрать из них четырёх человек и рассадить их за круглым столом так, что при этом каждый будет сидеть рядом со своими знакомыми (<i>n</i>$\ge$2).

На отрезке <i>AB</i> выбрана произвольно точка <i>C</i> и на отрезках <i>AB, AC</i> и <i>BC</i>, как на диаметрах, построены окружности Ω₁, Ω₂ и Ω₃. Через точку <i>C</i> проводится произвольная прямая, пересекающая окружность Ω₁ в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, а окружности Ω₂ и Ω₃ в точках <i>R</i> и <i>S</i> соответственно. Доказать, что  <i>PR = QS</i>.