Олимпиадные задачи из источника «11 класс, 2 тур» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> сторона <i>BC</i> равна полусумме двух других сторон. Через точку <i>A</i> и середины <i>B', C'</i> сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром <i>I</i> вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Из точки<i>O</i>на плоскости проведено несколько векторов, сумма длин которых равна 4. Доказать, что можно выбрать несколько векторов (или, быть может, один вектор), длина суммы которых больше 1.