Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 2 тур» для 9-11 класса - сложность 2-5 с решениями

В таблицу 9×9 вписаны все целые числа от 1 до 81. Доказать, что найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 6.

В правильном десятиугольнике провели все диагонали. Сколько попарно неподобных треугольников имеется на этом рисунке?

Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь замкнутая 14-звенная ломаная, проходящая по линиям клетчатой бумаги так, что ни на какой линии не лежит более одного звена ломаной?

Дан произвольный треугольник<i>ABC</i>и точка<i>X</i>вне его.<i>AM</i>,<i>BN</i>,<i>CQ</i>— медианы треугольника<i>ABC</i>. Доказать, что площадь одного из треугольников<i>XAM</i>,<i>XBN</i>,<i>XCQ</i>равна сумме площадей двух других.

По аллее длиной 100 метров идут три человека со скоростями 1, 2 и 3 км/ч. Дойдя до конца аллеи, каждый из них поворачивает и идёт назад с той же скоростью. Доказать, что найдётся отрезок времени в 1 минуту, когда все трое будут идти в одном направлении.