Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур» для 2-8 класса - сложность 2-3 с решениями

На листе бумаги нанесена сетка из<i>n</i>горизонтальных и<i>n</i>вертикальных прямых. Сколько различных замкнутых 2<i>n</i>-звенных ломаных можно провести по линиям сетки так, чтобы каждая ломаная проходила по всем горизонтальным и всем вертикальным прямым?

Доказать, что при нечётном <i>n</i> > 1 уравнение  <i>xⁿ + yⁿ = zⁿ</i>  не может иметь решений в целых числах, для которых  <i>x + y</i>  – простое число.