Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур» для 2-11 класса - сложность 2 с решениями

Доказать, что для любого целого<i>d</i>найдутся такие целые<i>m</i>,<i>n</i>, что<div align="CENTER"> <i>d</i> = $\displaystyle {\frac{n-2m+1}{m^2-n}}$. </div>

Даны<i>n</i>карточек; на обеих сторонах каждой карточки написано по одному из чисел1, 2,...,<i>n</i>, причём так, что каждое число встречается на всех<i>n</i>карточках ровно два раза. Доказать, что карточки можно разложить на столе так, что сверху окажутся все числа:1, 2,...,<i>n</i>.

Сумму цифр числа <i>a</i> обозначим через <i>S</i>(<i>a</i>). Доказать, что если  <i>S</i>(<i>a</i>) = <i>S</i>(2<i>a</i>),  то число <i>a</i> делится на 9.

Правильный треугольник, одна сторона которого отмечена, отражается симметрично относительно одной из своих сторон. Полученный треугольник в свою очередь отражается и т.д., пока на некотором шаге треугольник не придёт в первоначальное положение. Доказать, что при этом отмеченная сторона также займёт исходное положение.