Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 2 тур» для 7-9 класса

Коля и Петя делят 2<i>n</i>+ 1 орехов,<i>n</i>$\ge$2, причём каждый хочет получать возможно больше. Предполагаются три способа дележа (каждый проходит в три этапа).

1-й этап: Петя делит все орехи на две части, в каждой не меньше двух орехов.

2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каждой не меньше одного ореха.

1-й и 2-й этапы общие для всех трёх способов.

3-й этап: При первом способе Коля берёт большую и меньшую части;

При втором способе Коля берёт обе средние части;

При третьем способе Коля берёт либо большую и меньшую части, либо обе средние части, но за право выбора отдаёт Пете один орех.

Определить, какой способ самый выгодный для Коли и какой наименее выгоден для него.

<i>a, b, p</i> – любые целые числа. Доказать, что найдутся такие взаимно простые <i>k, l</i>, что  <i>ak + bl</i>  делится на <i>p</i>.