Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 1 тур» для 4-9 класса - сложность 2-4 с решениями
9 класс, 1 тур
НазадНа плоскости дано<i>N</i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Если<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>— любые три из них, то внутри треугольника<i>ABC</i>нет ни одной точки из данных. Доказать, что эти точки можно занумеровать так, что многоугольник<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>будет выпуклым.
Играют двое; один из них загадывает набор из целых чисел (<i>x</i><sub>1</sub>,<i>x</i><sub>2</sub>,...,<i>x</i><sub>n</sub>) -- однозначных, как положительных, так и отрицательных. Второму разрешается спрашивать, чему равна сумма<i>a</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>1</sub>+ ... +<i>a</i><sub>n</sub><i>x</i><sub>n</sub>, где(<i>a</i><sub>1</sub>...<i>a</i><sub>n</sub>) -- любой набор. Каково наименьшее число вопросов, за которое отгадывающий узнает задуманный набор?
Дан треугольник<i>ABC</i>и точка<i>O</i>.<i>M</i><sub>1</sub>,<i>M</i><sub>2</sub>,<i>M</i><sub>3</sub>— центры тяжести треугольников<i>OAB</i>,<i>OBC</i>,<i>OCA</i>соответственно. Доказать, что площадь треугольника<i>M</i><sub>1</sub><i>M</i><sub>2</sub><i>M</i><sub>3</sub>равна 1/9 площади<i>ABC</i>.