Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 1 тур» для 4-9 класса - сложность 2-3 с решениями

Дана окружность и точка <i>A</i> внутри неё.

Найдите геометрическое место вершин <i>C</i> всевозможных прямоугольников <i>ABCD</i>, где точки <i>B</i> и <i>D</i> лежат на окружности.

Дан выпуклый многоугольник и точка<i>O</i>внутри него. Любая прямая, проходящая через точку<i>O</i>, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и<i>O</i>— центр симметрии.

Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде  <i>p + n</i>^2<i>k</i>  ни при каких простых <i>p</i> и целых <i>n</i> и <i>k</i>.