Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур» для 10 класса - сложность 2-4 с решениями

В десятичной записи целого числа <i>A</i> все цифры, кроме первой и последней, нули, первая и последняя – не нули, число цифр – не меньше трёх.

Доказать, что <i>A</i> не является точным квадратом.

<i>a, b</i>и<i>n</i>– натуральные числа, и<i>n</i>нечётно. Докажите, что если числитель и знаменатель дроби  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78218/problem_78218_img_2.gif">  делятся на<i>n</i>, то и сама дробь делится на<i>n</i>.

Два правильных равных треугольника расположены в пространстве в параллельных плоскостях<i>P</i>₁и<i>P</i>₂, причём отрезок, соединяющий их центры, перпендикулярен плоскостям. Найти геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков, соединяющих точки одного треугольника с точками другого треугольника.