Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур» для 6-9 класса - сложность 1-2 с решениями
8 класс, 2 тур
НазадДоказать, что если целое <i>n</i> > 1, то 1<sup>1</sup>·2²·3³·...·<i>n<sup>n</sup> < n</i><sup><i>n</i>(<i>n</i>+1)/2</sup>.
Внутри угла <i>AOB</i> взята точка <i>C</i>, опущены перпендикуляры <i>CD</i> на сторону <i>OA</i> и <i>CE</i> на сторону <i>OB</i>. Затем опущены перпендикуляры <i>EM</i> на сторону <i>OA</i> и <i>DN</i> на сторону <i>OB</i>. Доказать, что <i>OC</i> ⊥ <i>MN</i>.
Для любых чисел <i>a</i><sub>1</sub> и <i>a</i><sub>2</sub>, удовлетворяющих условиям <i>a</i><sub>1</sub> ≥ 0, <i>a</i><sub>2</sub> ≥ 0, <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> = 1, можно найти такие числа <i>b</i><sub>1</sub> и <i>b</i><sub>2</sub>, что <i>b</i><sub>1</sub> ≥ 0, <i>b</i><sub>2</sub> ≥ 0, <i>b</i><sub>1</sub> + <i>b</i><sub>2</sub> = 1,
(<sup>5</sup>/<sub>4</sub> – <i>a</i><sub>1</sub>)<i>b</i><sub>1</sub>...
Из бумаги вырезан многоугольник. Две точки его границы соединяются отрезком, по которому многоугольник складывается. Доказать, что периметр многоугольника, получающегося после складывания, меньше периметра исходного многоугольника.