Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур» для 3-9 класса - сложность 2-5 с решениями

Проекции многоугольника на ось<i>OX</i>, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось<i>OY</i>и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов равны соответственно 4, 3$\sqrt{2}$, 5, 4$\sqrt{2}$. Площадь многоугольника —<i>S</i>. Доказать, что<i>S</i>$\le$17, 5.

Решить в натуральных числах уравнение <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78138/problem_78138_img_2.gif"></div>

На круглой поляне радиуса<i>R</i>растут три круглые сосны одинакового диаметра. Центры их стволов находятся на расстоянии${\frac{R}{2}}$от центра поляны в вершинах равностороннего треугольника. Два человека, выйдя одновременно из диаметрально противоположных точек поляны, обходят поляну по краю с одинаковой скоростью и в одном направлении и всё время не видят друг друга. Увидят ли друг друга три человека, если они так же будут обходить поляну, выйдя из точек, находящихся в вершинах вписанного в поляну правильного треугольника?

Доказать, что если уравнения с целыми коэффициентами  <i>x</i>² + <i>p</i>₁<i>x + q</i>₁,  <i>x</i>² + <i>p</i>₂<i>x + q</i>₂  имеют общий нецелый корень, то  <i>p</i>₁ = <i>p</i>₂  и  <i>q</i>₁ = <i>q</i>₂.

Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>O</i>. На лучах <i>OA</i>, <i>OB</i> и <i>OC</i> построены векторы единичной длины.

Доказать, что сумма этих векторов имеет длину, меньшую единицы.