Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 2 тур» для 1-8 класса - сложность 2 с решениями

64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы: по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на одной из диагоналей, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно этой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в каждом столбце меньше 1035.

Точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃, <i>A</i>₄, <i>A</i>₅, <i>A</i>₆ делят окружность радиуса 1 на шесть равных частей. Из <i>A</i>₁ провёден луч <i>l</i>₁ в направлении <i>A</i>₂, из <i>A</i>₂ – луч <i>l</i>₂ в направлении <i>A</i>₃, ..., из <i>A</i>₆ – луч <i>l</i>₆ в направлении <i>A</i><s...

Точка<i>O</i>— центр круга, описанного около треугольника<i>ABC</i>. Точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁симметричны точке<i>O</i>относительно сторон треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что все высоты треугольника<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁проходят через точку<i>O</i>, а все высоты треугольника<i>ABC</i>проходят через центр круга, описанного около треугольника<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁.