Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур» для 4-11 класса - сложность 2 с решениями
10 класс, 1 тур
НазадДокажите, что система уравнений <i>x</i><sub>1</sub> – <i>x</i><sub>2</sub> = <i>a</i>, <i>x</i><sub>3</sub> – <i>x</i><sub>4</sub> = <i>b</i>, <i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub> = 1 имеет хотя бы одно положительное решение тогда и только тогда, когда |<i>a</i>| + |<i>b</i>| < 1.
Дана замкнутая пространственная ломаная. Некоторая плоскость пересекает все её звенья:<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>в точке<i>B</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>— в точке<i>B</i><sub>2</sub>, ...,<i>A</i><sub>n</sub><i>A</i><sub>1</sub>-- в точке<i>B</i><sub>n</sub>. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{A_1B_1}{B_1A_2}}$$\displaystyle {\frac{A_2B_2}{B_2A_3}}$...$\displaystyle {\frac{A_nB_n}{B_nA_1}}$ = 1. </div>
Пусть <i>a, b, c, d, l</i> – целые числа. Докажите, что если дробь <img width="34" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78068/problem_78068_img_2.gif"> сократима на число <i>k</i>, то <i>ad – bc</i> делится на <i>k</i>.