Олимпиадные задачи из источника «1953 год» для 11 класса - сложность 3 с решениями
Пусть <i>x</i><sub>0</sub> = 10<sup>9</sup>, <i>x<sub>n</sub></i> = <img width="69" height="56" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77993/problem_77993_img_2.gif">. Доказать, что 0 < <i>x</i><sub>36</sub> – <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77993/problem_77993_img_3.gif"> < 10<sup>–9</sup>.
Даны уравнения <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 (1) и – <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> (2). Доказать, что если <i>x</i><sub>1</sub> и <i>x</i><sub>2</sub> – соответственно какие-либо корни уравнений (1) и (2), то найдётся такой корень <i>x</i><sub>3</sub> уравнения ½ <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>, что либо <i>x</i><sub>1</sub> ≤ <i>x</i><sub>3</sub> ≤ <i>x</i><sub>2</sub>, либо <i>x</i><sub>1</sub> ≥ <i>x</i><sub>3</sub> ≥ <i>x</i><sub>2</sub>.
В плоскости дан треугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub> и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>, <i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>1</sub> соответственно углы α<sub>3</sub>, α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>. Через точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>3</sub> проводятся прямые, образующие с &l...