Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 1 тур» для 1-10 класса - сложность 3-5 с решениями

Дана последовательность целых чисел, построенная следующим образом:<i>a</i>₁— произвольное трёхзначное число,<i>a</i>₂— сумма квадратов его цифр,<i>a</i>₃— сумма квадратов цифр числа<i>a</i>₂и т.д. Докажите, что в последовательности<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,<i>a</i>₃, ...обязательно встретится либо 1, либо 4.

$\Delta$<i>ABC</i>разбит прямой<i>BD</i>на два треугольника. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в$\Delta$<i>ABD</i>и$\Delta$<i>DBC</i>, больше радиуса окружности, вписанной в$\Delta$<i>ABC</i>.