Олимпиадные задачи из источника «7,8 класс, 1 тур» для 4-9 класса - сложность 2-4 с решениями

Дана плоская замкнутая ломаная периметра 1. Доказать, что можно начертить круг радиусом${\frac{1}{4}}$, покрывающий всю ломаную.

Доказать, что равенство  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 2<i>xyz</i>  для целых <i>x, y</i> и <i>z</i> возможно только при  <i>x = y = z</i> = 0.

Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.

Показать, что  27195⁸ – 10887⁸ + 10152⁸  делится на 26460.

Докажите, что отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.