Олимпиадные задачи из источника «7,8 класс, 2 тур» - сложность 2-4 с решениями

Сторона <i>AD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> разделена на <i>n</i> равных частей. Первая точка деления <i>P</i> соединена с вершиной <i>B</i>.

Доказать, что прямая <i>BP</i> отсекает на диагонали <i>AC</i> часть <i>AQ</i>, которая равна ¹/_<i>n</i>+1 части диагонали:  <i>AQ = ^AC</i>/_<i>n</i>+1.

Из картона вырезали два одинаковых многоугольника, совместили их и проткнули в некоторой точке булавкой. При повороте одного из многоугольников около этой "оси" на25^<tt>o</tt>30^{$\scriptstyle \prime$}он снова совместился со вторым многоугольником. Каково наименьшее возможное число сторон таких многоугольников?

Даны 6 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Найти сумму всех четырёхзначных чётных чисел, которые можно написать этими цифрами (одна и та же цифра в числе может повторяться).

Вершины <i>A, B, C</i> треугольника соединены с точками <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, лежащими на противоположных сторонах (не в вершинах).

Могут ли середины отрезков <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ лежать на одной прямой?