Олимпиадные задачи из источника «8 класс» - сложность 1 с решениями

а) Аборигены поймали Кука и просят за его выкуп ровно 455 рупий 50 монетами. Смогут ли соратники Кука выкупить его на таких условиях, если в тех краях имеют хождение только монеты в 5, 17 и 31 рупии?

б) А если бы аборигены хотели получить сумму в 910 рупий 50 монетами по 10, 34 и 62 рупии?

Посевной участок под рожь имеет прямоугольную форму. В рамках реструктуризации колхозных земель одну сторону участка увеличили на 20%, а другую уменьшили на 20%. Изменится ли в результате урожай ржи, и если изменится, то на сколько?

На прямой через равные промежутки поставили десять точек, и они заняли отрезок длины <i>a</i>. На другой прямой через такие же промежутки поставили 100 точек, и они заняли отрезок длины <i>b</i>. Во сколько раз <i>b</i> больше <i>a</i>?

Пусть <i>m</i> и <i>n</i> – целые числа. Докажите, что  <i>mn</i>(<i>m + n</i>)  – чётное число.

Яблоко плавает на воде так, что ¹/₅ часть яблока находится над водой, а ⁴/₅ – под водой. Под водой яблоко начинает есть рыбка со скоростью 120 г/мин., одновременно над водой яблоко начинает есть птичка со скоростью 60 г/мин. Какая часть яблока достанется рыбке, а какая – птичке?

Доказать: произведение

  а) двух нечётных чисел нечётно;

  б) чётного числа с любым целым числом чётно.

Доказать: сумма

  а) любого количества чётных слагаемых чётна;

  б) чётного количества нечётных слагаемых чётна;

  в) нечётного количества нечётных слагаемых нечётна.

Несколько Совершенно Секретных Объектов соединены подземной железной дорогой таким образом, что каждый Объект напрямую соединён не более чем с тремя другими и от каждого Объекта можно добраться под землей до любого другого, сделав не более одной пересадки. Каково максимальное число Совершенно Секретных Объектов?

Выписать в ряд цифры от 1 до 9 (каждую по разу) так, чтобы каждые две подряд идущие цифры давали бы двузначное число, делящееся на 7 или на 13.

Гуляя по Кенигсбергу, Леонард Эйлер захотел обойти город, пройдя по каждому мосту ровно один раз (см. рис.). Как ему это сделать? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/32993/problem_32993_img_2.gif"></div>

Можно ли расположить на плоскости

  а) 4 точки так, чтобы каждая из них была соединена отрезками с тремя другими (без пересечений)?

  б) 6 точек и соединить их непересекающимися отрезками так, чтобы из каждой точки выходило ровно 4 отрезка?

Можно ли семь телефонов соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединён ровно с тремя?

Докажите, что  1 + 2⁷⁷ + 3⁷⁷ + ... + 1996⁷⁷  делится на 1997.

Докажите, что уравнение  3<i>x</i>² + 2 = <i>y</i>²  нельзя решить в целых числах.

Найдите самое маленькое <i>k</i>, при котором <i>k</i>! делится на 2040.

Жители города Глупова пользуются купюрами только в 35 и 80 тыров. Сможет ли рассчитаться продавец с покупателем, который хочет купить

  a) шоколадку за 57 тыров;

  б) булочку за 15 тыров?

На хоккейном поле лежат три шайбы<i>А</i>,<i>В</i>и<i>С</i>. Хоккеист бьёт по одной из них так, что она пролетает между двумя другими. Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы оказаться на исходных местах?

Конь вышел с поля a1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.