Олимпиадные задачи из источника «выпуск 2» для 10 класса - сложность 2-4 с решениями

Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия

  а) из 11,

  б) из 10000,

  в) из бесконечного числа натуральных чисел,

такая что последовательность сумм цифр её членов – также возрастающая арифметическая прогрессия?

Прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники, граничащие друг с другом только по целым сторонам, так, что общая сторона двух треугольников всегда служит катетом одного и гипотенузой другого. Докажите, что отношение большей стороны прямоугольника к меньшей не менее 2.

Дано <i>n</i> чисел, <i>p</i> – их произведение. Разность между <i>p</i> и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные <i>n</i> чисел иррациональны.

Есть доска 1×1000, вначале пустая, и куча из <i>n</i> фишек. Двое ходят по очереди. Первый своим ходом "выставляет" на доску не более 17 фишек по одной на любое свободное поле (он может взять все 17 из кучи, а может часть – из кучи, а часть – переставить на доске). Второй снимает с доски любую <i>серию</i> фишек (серия – это несколько фишек, стоящих подряд, то есть без свободных полей между ними) и кладёт их обратно в кучу. Первый выигрывает, если ему удастся выставить все фишки в ряд без пробелов.

  а) Докажите, что при  <i>n</i> = 98  первый всегда может выиграть.

  б) При каком наибольшем <i>n</i> первый всегда может выиграть?