Олимпиадные задачи из источника «выпуск 7» для 5-9 класса - сложность 3-4 с решениями

Дана таблица <i>n</i>×<i>n</i>, заполненная числами по следующему правилу: в клетке, стоящей в <i>i</i>-й строке и <i>j</i>-м столбце таблицы записано число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98139/problem_98139_img_2.gif">   В таблице зачеркнули <i>n</i> чисел таким образом, что никакие два зачёркнутых числа не находятся в одном столбце или в одной строке. Докажите, что сумма зачёркнутых чисел не меньше 1.

Пусть в прямоугольном треугольнике <i>AB</i> и <i>AC</i> – катеты,  <i>AC > AB</i>.  На <i>AC</i> выбрана точка <i>E</i>, а на <i>BC</i> – точка <i>D</i> так, что  <i>AB = AE = BD</i>.

Докажите, что треугольник <i>ADE</i> прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника <i>ABC</i> относятся как  3 : 4 : 5.