Олимпиадные задачи из источника «1989 год» для 10 класса - сложность 3 с решениями
На плоскости дано <i>N</i> прямых (<i>N</i> > 1), никакие три из которых не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны. Докажите, что в частях, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно расставить ненулевые целые числа, по модулю не превосходящие <i>N</i>, так, что суммы чисел по любую сторону от любой из данных прямых равны нулю.
Докажите, что если <i>K</i> чётно, то числа от 1 до <i>K</i> – 1 можно выписать в таком порядке, что сумма никаких нескольких подряд стоящих чисел не будет делиться на <i>K</i>.
В стране 1988 городов и 4000 дорог.
Докажите, что можно указать кольцевой маршрут, проходящий не более, чем через 20 городов (каждая дорога соединяет два города).
Числа 1, 2, 3, ..., <i>N</i> записываются в строчку в таком порядке, что если где-то (не на первом месте) записано число <i>i</i>, то где-то слева от него встретится хотя бы одно из чисел <i>i</i> + 1 и <i>i</i> – 1. Сколькими способами это можно сделать?
Выпуклый <i>n</i>-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (<i>перестройку</i>): взяв пару треугольников <i>ABD</i> и <i>BCD</i> с общей стороной, заменить их на треугольники <i>ABC</i> и <i>ACD</i>. Пусть <i>P</i>(<i>n</i>) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что
а) <i>P</i>(<i>n</i>) ≥ <i>n</i> – 3;
б) <i>P</i>(<i>n</i>) ≤ 2<i>n</i> – 7;
в) <i>P</i>(<i>n</i>) ≤ 2<i>n</i> – 10 при <i>n</i> ≥ 13.