Олимпиадные задачи из источника «1988 год» для 9 класса
Прямой угол разбит на бесконечное число квадратных клеток со стороной единица. Будем рассматривать ряды клеток, параллельные сторонам угла (<i>вертикальные</i> и <i>горизонтальные</i> ряды). Можно ли в каждую клетку записать натуральное число так, чтобы каждый вертикальный и каждый горизонтальный ряд клеток содержал все натуральные числа по одному разу?
Решите систему уравнений:
(<i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub> + <i>x</i><sub>5</sub>)<sup>5</sup> = 3<i>x</i><sub>1</sub>,
(<i>x</i><sub>4</sub> + <i>x</i><sub>5</sub> + <i>x</i><sub>1</sub>)<sup>5</sup> = 3<i>x</i><sub>2</sub>,
(<i>x</i><sub>5</sub> + <i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub>)<sup>5</sup> = 3<i>x</i><sub>3</sub>,
(<i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i&g...
Дан треугольник <i>ABC</i>. Две прямые, симметричные прямой <i>AC</i> относительно прямых <i>AB</i> и <i>BC</i> соответственно, пересекаются в точке <i>K</i>.
Докажите, что прямая <i>BK</i> проходит через центр <i>O</i> описанной около треугольника <i>ABC</i> окружности.
Докажите, что предпоследняя цифра любой степени числа 3 чётна.