Олимпиадные задачи из источника «1985 год» - сложность 3 с решениями
Радиус <i>OM</i> круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол <sup>360°</sup>/<sub><i>N</i></sub> (<i>N</i> – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение <i>OM</i><sub>0</sub>, через секунду – <i>OM</i><sub>1</sub>, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – <i>OM</i><sub>2</sub>, ещё через три секунды после этого – <i>OM</i><sub>3</sub>, и т. д., ещё через <i>N</i> – 1 секунду после <i>ОМ</i><sub><i>N</i>–2</sub> – <i>OM</i><sub><i>N</i>–1</sub>.
При каких <i>N...
В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры 0, 1, 2, 3, ..., 9 так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.
а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?
б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.
На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т.п.). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?
За круглым столом сидят 13 богатырей из <i>k</i> городов, где 1 < <i>k</i> < 13. Каждый богатырь держит в руке золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков тоже <i>k</i>. Князь повелел каждому богатырю передать свой кубок соседу справа и повторять это до тех пор, пока какие-нибудь два богатыря из одного города оба не получат золотые кубки. Доказать, что желание князя всегда будет исполнено.