Олимпиадные задачи из источника «1980 год» для 11 класса - сложность 2-4 с решениями

В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше 45°.

В таблице <i>N</i>×<i>N</i>, заполненной числами, все строки различны (две строки называются различными, если они отличаются хотя бы в одном элементе).

Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице опять все строки будут различны.

Три прямолинейных коридора одинаковой длины <i>l</i> образуют фигуру, изображённую на рисунке. По ним бегают гангстер и полицейский. Максимальная скорость полицейского в 2 раза больше максимальной скорости гангстера. Полицейский сможет увидеть гангстера, если он окажется от него на расстоянии, не большем <i>r</i>. Доказать, что полицейский всегда может поймать гангстера, если:   а)  <i>r > ^l</i>/₃;   б)   <i>r > ^l</i>/₄;   в)   <i>r > ^l</i>/₅;   г)   <i>r > ^l</i>/₇. <div align="center"><img width="150&q...