Олимпиадные задачи из источника «выпуск 7» для 8 класса

На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:<ul class="zad"><li>некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку; </li><li>некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.</li></ul>

Пусть <i>a, b, m, n</i> – натуральные числа, причём числа <i>a</i> и <i>b</i> взаимно просты и  <i>a</i> > 1.

Докажите, что если  <i>a^m + b^m</i>  делится на  <i>aⁿ + bⁿ</i>,  то <i>m</i> делится на <i>n</i>.

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как<nobr>2 : 3.</nobr>Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.