Олимпиадные задачи из источника «выпуск 2» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями

Какое наибольшее число точек можно разместить<nobr>a) на</nobr>плоскости;<nobr>б)* в</nobr>пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным? (Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно точек.)

Для каждого натурального <i>n</i> обозначим через  <i>s</i>(<i>n</i>)  сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число <i>m</i> особым, если его нельзя представить в виде  <i>m = n + s</i>(<i>n</i>).  (Например, число 117 не особое, поскольку  117 = 108 + <i>s</i>(108),  а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.