Олимпиадные задачи из источника «выпуск 2» для 11 класса - сложность 4 с решениями

<img src="/storage/problem-media/73603/problem_73603_img_2.png" width="400" height="417" vspace="10" hspace="20" align="right">Сетка линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4,... и центром в<nobr>точке <i>О</i>,</nobr><nobr>прямой <i>l</i>,</nobr>проходящей через<nobr>точку <i>О</i></nobr>, и всевозможных касательных к окружностям,<nobr>параллельных <i>l</i>.</nobr>Вся плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что...

<img align="RIGHT" src="/storage/problem-media/73602/problem_73602_img_2.gif">Ювелиру заказали золотое кольцо<nobr>шириной <i>h</i>,</nobr>имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с<nobr>центром <i>О</i></nobr>и поверхностью цилиндра<nobr>радиусом <i>r</i>,</nobr>ось которого проходит через<nobr>точку <i>О</i>.</nobr>Мастер сделал такое колечко, но<nobr>выбрал <i>r</i></nobr>слишком маленьким. Сколько золота ему придётся добавить, если<i>r</i>нужно увеличить в<nobr><i>k</i> раз,</nobr>а<nobr>ширину <i>h</i></nobr>оставить прежней?