Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Медиана треугольника» для 5-11 класса - сложность 3-4 с решениями

На столе лежит 50 правильно идущих часов. Докажите, что в некоторый момент сумма расстояний от центра стола до концов минутных стрелок окажется больше суммы расстояний от центра стола до центров часов.

Точки <i>A</i>₁,...,<i>A</i>_nне лежат на одной прямой. Пусть две разные точки <i>P</i>и <i>Q</i>обладают тем свойством, что <i>A</i>₁<i>P</i>+ ... +<i>A</i>_n<i>P</i>=<i>A</i>₁<i>Q</i>+ ... +<i>A</i>_n<i>Q</i>=<i>s</i>. Докажите, что тогда <i>A</i>₁<i>K</i>+ ... +<i>A</i>_n<i>K</i><<i>s</i>для некоторой точки <i>K</i>.