Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Построения» для 4-8 класса - сложность 5 с решениями

Даны отрезки <i>O</i>₁<i>A</i>₁и <i>O</i>₂<i>A</i>₂. С помощью одной двусторонней линейки постройте радикальную ось окружностей радиуса <i>O</i>₁<i>A</i>₁и <i>O</i>₂<i>A</i>₂с центрами <i>O</i>₁и <i>O</i>₂соответственно.

Докажите, что если на плоскости даны какая-нибудь окружность <i>S</i>и ее центр <i>O</i>, то с помощью одной линейки можно: а) из любой точки провести прямую, параллельную данной прямой, и опустить на данную прямую перпендикуляр; б) на данной прямой от данной точки отложить отрезок, равный данному отрезку; в) построить отрезок длиной <i>ab</i>/<i>c</i>, где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины данных отрезков; г) построить точки пересечения данной прямой <i>l</i>с окружностью, центр которой — данная точка <i>A</i>, а радиус равен длине данного отрезка; д) построить точки пересечения двух окружностей, центры которых — данные точки, а радиусы — данные отрезки.

На окружности радиуса <i>a</i>дана точка. С помощью монеты радиуса<i>a</i>постройте точку, диаметрально противоположную данной.

Даны точки <i>A</i>и <i>B</i>, расстояние между которыми больше 1 м. С помощью одной лишь линейки, длина которой равна 10 см, постройте отрезок <i>AB</i>. (Линейкой можно только проводить прямые линии.)

Постройте окружность, касательные к которой, проведенные из трех данных точек <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>, имели бы длины <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i>соответственно.

Даны три точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>. Постройте три окружности, попарно касающиеся в этих точках.

Постройте вписанный четырехугольник по четырем сторонам (Брахмагупта).

Постройте треугольник <i>ABC</i>по радиусу вписанной окружности <i>r</i>и (ненулевым) длинам отрезков <i>AO</i>и <i>AH</i>, где <i>O</i> — центр вписанной окружности, <i>H</i> — ортоцентр.