Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Теорема Птолемея» для 8-10 класса - сложность 5 с решениями

Окружности $\alpha$,$\beta$,$\gamma$и $\delta$касаются данной окружности в вершинах <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>. Пусть <i>t</i>_{$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$} — длина общей касательной к окружностям $\alpha$и $\beta$(внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); <i>t</i>_{$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$},<i>t</i>_{$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$}и т. д. определяются аналогично. Докажите, что <i>t</i>_{$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$}<...

Окружности радиуса <i>x</i>и <i>y</i>касаются окружности радиуса <i>R</i>, причем расстояние между точками касания равно <i>a</i>. Вычислите длину следующей общей касательной к первым двум окружностям: а) внешней, если оба касания внешние или внутренние одновременно; б) внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее.