Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Вписанные и описанные четырехугольники» для 1-8 класса - сложность 4 с решениями

Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то проекции точки пересечения диагоналей на стороны являются вершинами вписанного четырехугольника.

Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на его стороны являются вершинами описанного четырехугольника, если только они не попадают на продолжения сторон.

Диагональ <i>AC</i>разбивает четырехугольник <i>ABCD</i>на два треугольника, вписанные окружности которых касаются диагонали <i>AC</i>в одной точке. Докажите, что вписанные окружности треугольников <i>ABD</i>и <i>BCD</i>тоже касаются диагонали <i>BD</i>в одной точке, а точки их касания со сторонами четырехугольника лежат на одной окружности.

Четырехугольник <i>ABCD</i>вписанный; <i>H</i>_cи <i>H</i>_d — ортоцентры треугольников <i>ABD</i>и <i>ABC</i>. Докажите, что <i>CDH</i>_c<i>H</i>_d — параллелограмм.

Через точки пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>проведены две прямые, делящие его на четыре четырехугольника. Докажите, что если четырехугольники, примыкающие к вершинам <i>B</i>и <i>D</i>, описанные, то четырехугольник <i>ABCD</i>тоже описанный.

Дан выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>. Лучи <i>AB</i>и <i>CD</i>пересекаются в точке <i>P</i>, а лучи <i>BC</i>и <i>AD</i> — в точке <i>Q</i>. Докажите, что четырехугольник <i>ABCD</i>описанный тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: <i>AB</i>+<i>CD</i>=<i>BC</i>+<i>AD</i>,<i>AP</i>+<i>CQ</i>=<i>AQ</i>+<i>CP</i>или <i>BP</i>+<i>BQ</i>=<i>DP</i>+<i>DQ</i>.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность; <i>O</i>₁, <i>O</i>₂, <i>O</i>₃, <i>O</i>₄ — центры окружностей, вписанных в треугольники <i>ABC</i>, <i>BCD</i>, <i>CDA</i> и <i>DAB</i>. Докажите, что <!-- MATH $O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}$ --> <i>O</i>₁<i>O</i>₂<i>O</i>₃<i>O</i>₄ -- прямоугольник.