Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Треугольники с углами 60 и 120 градусов» для 8 класса

В треугольнике <i>ABC</i>проведены биссектрисы <i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁. Докажите, что если $\angle$<i>CC</i>₁<i>B</i>₁= 30^<tt>o</tt>, то либо $\angle$<i>A</i>= 60^<tt>o</tt>, либо $\angle$<i>B</i>= 120^<tt>o</tt>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>с углом <i>A</i>, равным 60^<tt>o</tt>, высоты пересекаются в точке <i>H</i>. а) Пусть <i>M</i>и <i>N</i> — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам <i>BH</i>и <i>CH</i>со сторонами <i>AB</i>и <i>AC</i>соответственно. Докажите, что точки <i>M</i>,<i>N</i>и <i>H</i>лежат на одной прямой. б) Докажите, что на той же прямой лежит центр <i>O</i>описанной окружности.

В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>A</i>равен 120^<tt>o</tt>. Докажите, что из отрезков длиной <i>a</i>,<i>b</i>,<i>b</i>+<i>c</i>можно составить треугольник.

а) Докажите, что если угол <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>равен 120^<tt>o</tt>, то центр описанной окружности и ортоцентр симметричны относительно биссектрисы внешнего угла <i>A</i>. б) В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>A</i>равен 60^<tt>o</tt>; <i>O</i> — центр описанной окружности, <i>H</i> — ортоцентр, <i>I</i> — центр вписанной окружности, а <i>I</i>_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>BC</i>. Докажите, что <i>IO</i>=<i>IH</i>и <i>I</i>_a<i>O</i>=<i>I</i>_a&...

В треугольнике<i>ABC</i>проведены биссектрисы<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников<i>ABB</i>₁и<i>ACC</i>₁пересекаются в точке, лежащей на стороне<i>BC</i>, то$\angle$<i>A</i>= 60^<tt>o</tt>.

В треугольнике <i>ABC</i>с углом <i>A</i>, равным 120^<tt>o</tt>, биссектрисы <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что $\angle$<i>A</i>₁<i>C</i>₁<i>O</i>= 30^<tt>o</tt>.

Один из углов треугольника равен 120°. Докажите, что треугольник, образованный основаниями биссектрис данного, прямоугольный.