Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Прямоугольные треугольники» для 1-11 класса - сложность 2-5 с решениями
параграф 2. Прямоугольные треугольники
НазадНа гипотенузе <i>AB</i>прямоугольного треугольника <i>ABC</i>внешним образом построен квадрат <i>ABPQ</i>. Пусть $\alpha$=$\angle$<i>ACQ</i>,$\beta$=$\angle$<i>QCP</i>и $\gamma$=$\angle$<i>PCB</i>. Докажите, что cos$\beta$= cos$\alpha$cos$\gamma$.
В треугольнике <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> проведены высота <i>CD</i> и биссектриса <i>CF</i>; <i>DK</i> и <i>DL</i> – биссектрисы треугольников <i>BDC</i> и <i>ADC</i>.
Докажите, что <i>CLFK</i> – квадрат.
Диагонали<i>AC</i>и<i>BD</i>параллелограмма<i>ABCD</i>пересекаются в точке<i>O</i>. Точка<i>M</i>лежит на прямой<i>AB</i>, причём$\angle$<i>AMO</i>=$\angle$<i>MAD</i>. Докажите, что точка<i>M</i>равноудалена от точек<i>C</i>и<i>D</i>.
Сумма углов при основании трапеции равна 90<sup><tt>o</tt></sup>. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
На медиане<i>BM</i>и на биссектрисе<i>BK</i>треугольника<i>ABC</i>(или на их продолжениях) взяты точки<i>D</i>и<i>E</i>так, что<i>DK</i>||<i>AB</i>и<i>EM</i>||<i>BC</i>. Докажите, что<i>ED</i>$\bot$<i>BK</i>.
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>с основанием <i>AC</i>проведена биссектриса <i>CD</i>. Прямая, проходящая через точку <i>D</i>перпендикулярно <i>DC</i>, пересекает <i>AC</i>в точке <i>E</i>. Докажите, что <i>EC</i>= 2<i>AD</i>.
Дана трапеция <i>ABCD</i>с основанием <i>AD</i>. Биссектрисы внешних углов при вершинах <i>A</i>и <i>B</i>пересекаются в точке <i>P</i>, а при вершинах <i>C</i>и <i>D</i> — в точке <i>Q</i>. Докажите, что длина отрезка <i>PQ</i>равна половине периметра трапеции.
Пусть <i>M</i> — середина стороны <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что <i>CM</i>=<i>AB</i>/2 тогда и только тогда, когда $\angle$<i>ACB</i>= 90<sup><tt>o</tt></sup>.
В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>C</i>прямой. Докажите, что <i>r</i>= (<i>a</i>+<i>b</i>-<i>c</i>)/2 и <i>r</i><sub>c</sub>= (<i>a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>)/2.
В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> проведена высота <i>CK</i> из вершины прямого угла <i>C</i>, а в треугольнике <i>ACK</i> – биссектриса <i>CE</i>. Докажите, что <i>CB = BE</i>.