Олимпиадные задачи из источника «параграф 12. Точки Брокара» для 4-10 класса - сложность 4 с решениями

а) Докажите, что угол Брокара любого треугольника не превосходит 30^<tt>o</tt>. б) Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>M</i>. Докажите, что один из углов <i>ABM</i>,<i>BCM</i>и <i>CAM</i>не превосходит 30^<tt>o</tt>.

а) Пусть <i>P</i> — точка Брокара треугольника <i>ABC</i>. Угол $\varphi$=$\angle$<i>ABP</i>=$\angle$<i>BCP</i>=$\angle$<i>CAP</i>называется<i>углом Брокара</i>этого треугольника. Докажите, что <i>ctg</i>$\varphi$=<i>ctg</i>$\alpha$+<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\gamma$. б) Докажите, что точки Брокара треугольника <i>ABC</i>изогонально сопряжены. в) Касательная к описанной окружности треугольника <i>ABC</i>в точке <i>C</i>и прямая, проходящая через точку <i>B</i>параллельно <i>AC</i>, пересекаются в точке <i>A</i>₁. Докажите, что угол Брокара треугольника <i>ABC</i>ра...

а) Через точку Брокара <i>P</i>треугольника <i>ABC</i>проведены прямые <i>AP</i>,<i>BP</i>и <i>CP</i>, пересекающие описанную окружность в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что $\triangle$<i>ABC</i>=$\triangle$<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>A</i>₁. б) Треугольник <i>ABC</i>вписан в окружность <i>S</i>. Докажите, что треугольник, образованный точками пересечения прямых <i>PA</i>,<i>PB</i>и <i>PC</i>с окружностью <i>S</i>, может быть равен...

а) Докажите, что внутри треугольника <i>ABC</i>существует такая точка <i>P</i>, что $\angle$<i>ABP</i>=$\angle$<i>CAP</i>=$\angle$<i>BCP</i>. б) На сторонах треугольника <i>ABC</i>внешним образом построены подобные ему треугольники <i>CA</i>₁<i>B</i>,<i>CAB</i>₁и <i>C</i>₁<i>AB</i>(углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).