Олимпиадные задачи из источника «параграф 10. Подерный треугольник» для 4-9 класса - сложность 1-5 с решениями

Дан параллелограмм<i>ABCD</i>. Докажите, что подерная окружность точки<i>D</i>относительно треугольника<i>ABC</i>проходит через точку пересечения его диагоналей.

Даны два треугольника<i>ABC</i>и<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Перпендикуляры, опущенные из точек<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>на прямые<i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>C</i>₁<i>A</i>₁,<i>A</i>₁<i>B</i>₁пересекаются в одной точке. Докажите, что тогда перпендикуляры, опущенные из точек<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁на прямые<i>BC</i>,<...

а) Точки <i>P</i>₁и <i>P</i>₂изогонально сопряжены относительно треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что их подерные окружности (описанные окружности подерных треугольников (см. задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/156949">5.99</a>)) совпадают, причем центром этой окружности является середина отрезка <i>P</i>₁<i>P</i>₂. б) Докажите, что это утверждение останется верным, если из точек <i>P</i>₁и <i>P</i>₂проводить не перпендикуляры к сторонам, а прямые под данным (ориентированным) углом. в) Докажите, что стороны подерного треугольника точки<i>...

Из точки <i>P</i>опущены перпендикуляры <i>PA</i>₁,<i>PB</i>₁и <i>PC</i>₁на стороны треугольника <i>ABC</i>. Прямая <i>l</i>_aсоединяет середины отрезков <i>PA</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁. Аналогично определяются прямые <i>l</i>_bи <i>l</i>_c. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Треугольник <i>ABC</i>вписан в окружность радиуса <i>R</i>с центром <i>O</i>. Докажите, что площадь подерного треугольника точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>(см. задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/156949">5.99</a>) равна ${\frac{1}{4}}$$\left\vert\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right.$1 -${\frac{d^2}{R^2}}$$\left.\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right\vert$<i>S</i>_ABC, где <i>d</i>=<i>PO</i>.

Внутри остроугольного треугольника <i>ABC</i>дана точка <i>P</i>. Опустив из нее перпендикуляры <i>PA</i>₁,<i>PB</i>₁и <i>PC</i>₁на стороны, получим $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Проделав для него ту же операцию, получим $\triangle$<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂, а затем $\triangle$<i>A</i>₃<i>B</i>₃<i>C</i>₃. Докажите, что $\triangle$<i>A&l...

Прямые <i>AP</i>,<i>BP</i>и <i>CP</i>пересекают описанную окружность треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i>₂,<i>B</i>₂и <i>C</i>₂; <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ — подерный треугольник точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>(см. задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/156949">5.99</a>). Докажите, что $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁$\sim$$\triangle$<i>A</i>&lt...

Пусть<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁- основания перпендикуляров, опущенных из точки<i>P</i>на прямые<i>BC</i>,<i>CA</i>и<i>AB</i>. Треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁называют<i>подерным</i>(или<i>педальным</i>) треугольником точки<i>P</i>относительно треугольника<i>ABC</i>. Пусть <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ — подерный треугольник точки <i>P</i>относительно треугольника <...