Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Касающиеся окружности» для 8 класса - сложность 3 с решениями

а) Три окружности с центрами <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, касающиеся друг друга и прямой <i>l</i>, расположены так, как показано на рис. Пусть <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i> — радиусы окружностей с центрами <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>. Докажите, что 1/$\sqrt{c}$= 1/$\sqrt{a}$+ 1/$\sqrt{b}$. б) Четыре окружности попарно касаются внешним образом (в шести различных точках). Пусть <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — их радиусы, $\alpha$= 1/<i>a</i>,$\beta$= 1/<i>b</i>,$\gamma$= 1/<i>c</i>и $\delta$= 1/<i>d</i>. Докажите, что2($\alpha^{2}{}$+$\beta^{2}{}$+$\gamma^{2}_{}$+$\delta^{2}$...

Даны четыре окружности <i>S</i>₁,<i>S</i>₂,<i>S</i>₃и <i>S</i>₄, причем окружности <i>S</i>_iи <i>S</i>_{i + 1}касаются внешним образом для <i>i</i>= 1, 2, 3, 4 (<i>S</i>₅=<i>S</i>₁). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырехугольник.

На отрезке <i>AB</i>взята точка <i>C</i>. Прямая, проходящая через точку <i>C</i>, пересекает окружности с диаметрами <i>AC</i>и <i>BC</i>в точках <i>K</i>и <i>L</i>, а окружность с диаметром <i>AB</i> — в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что <i>KM</i>=<i>LN</i>.