Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Комбинаторика» для 3-10 класса - сложность 1-3 с решениями
параграф 2. Комбинаторика
НазадНа окружности даны точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>,..., <i>A</i><sub>16</sub>. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>,..., <i>A</i><sub>16</sub>. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых <i>A</i><sub>1</sub> является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых <i>A</i><sub>1</sub> в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?
На сколько частей разделяют<i>n</i>-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?
Докажите, что число неравных треугольников с вершинами в вершинах правильного<i>n</i>-угольника равно ближайшему к <sup><i>n</i>²</sup>/<sub>12</sub> целому числу.
На плоскости дано <i>n</i> > 4 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что существует не менее <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/58316/problem_58316_img_2.gif"> различных выпуклых четырёхугольников с вершинами в этих точках.
На окружности отмечено десять точек. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся девятизвенных ломаных с вершинами в этих точках?
Известно, что в выпуклом <i>n</i>-угольнике (<i>n</i> > 3) никакие три диагонали не проходят через одну точку.
Найдите число точек (отличных от вершины) пересечения пар диагоналей.