Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Формула Пика»

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть ^<i>a</i>/_<i>b</i> и ^<i>c</i>/_<i>d</i> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |<i>bc – ad</i>| = 1.

Докажите, что квадрат со стороной<i>n</i>не может накрыть более (<i>n</i>+ 1)²точек целочисленной решётки.

Вершины треугольника<i>ABC</i>расположены в узлах целочисленной решетки, причем на его сторонах других узлов нет, а внутри его есть ровно один узел <i>O</i>. Докажите, что <i>O</i> — точка пересечения медиан треугольника<i>ABC</i>.

Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах целочисленной решетки. Внутри его лежит <i>n</i>узлов решетки, а на границе <i>m</i>узлов. Докажите, что его площадь равна<i>n</i>+<i>m</i>/2 - 1 (<i>формула Пика</i>).