Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Инварианты» для 4-8 класса - сложность 2-3 с решениями

Дан выпуклый 2<i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A</i>_2<i>n</i>. Внутри него взята точка <i>P</i>, не лежащая ни на одной из диагоналей.

Докажите, что точка <i>P</i> принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках <i>A</i>₁,..., <i>A</i>_2<i>n</i>.

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать другой цвет сразу все клетки, расположенные внутри любого квадрата 2×2.

Может ли при этом на доске остаться ровно одна чёрная клетка?

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали.

Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна чёрная клетка?