Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Вписанный угол и подобные треугольники» для 8 класса - сложность 2 с решениями
параграф 6. Вписанный угол и подобные треугольники
Назада) Стороны угла с вершиной <i>C</i>касаются окружности в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Из точки <i>P</i>, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры <i>PA</i><sub>1</sub>,<i>PB</i><sub>1</sub>и <i>PC</i><sub>1</sub>на прямые <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>. Докажите, что <i>PC</i><sub>1</sub><sup>2</sup>=<i>PA</i><sub>1</sub><sup> . </sup><i>PB</i><sub>1</sub>и<i>PA</i><sub>1</sub>:<i>PB</i><sub>1</sub>=<i>PB</i><sup>2</sup>:<i>PA</i><sup>2</sup>. б...
Дан параллелограмм <i>ABCD</i>с острым углом при вершине <i>A</i>. На лучах <i>AB</i>и <i>CB</i>отмечены точки <i>H</i>и <i>K</i>соответственно так, что <i>CH</i>=<i>BC</i>и <i>AK</i>=<i>AB</i>. Докажите, что: а) <i>DH</i>=<i>DK</i>; б) $\triangle$<i>DKH</i>$\sim$$\triangle$<i>ABK</i>.
Прямая, проходящая через вершину <i>C</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>, пересекает основание <i>AB</i>в точке <i>M</i>, а описанную окружность в точке <i>N</i>. Докажите, что <i>CM</i><sup> . </sup><i>CN</i>=<i>AC</i><sup>2</sup>и <i>CM</i>/<i>CN</i>=<i>AM</i><sup> . </sup><i>BM</i>/(<i>AN</i><sup> . </sup><i>BN</i>).
На сторонах <i>BC</i>и <i>CD</i>квадрата <i>ABCD</i>взяты точки <i>E</i>и <i>F</i>так, что $\angle$<i>EAF</i>= 45<sup><tt>o</tt></sup>. Отрезки <i>AE</i>и <i>AF</i>пересекают диагональ <i>BD</i>в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Докажите, что <i>S</i><sub>AEF</sub>/<i>S</i><sub>APQ</sub>= 2.
На дуге <i>BC</i>окружности, описанной около равностороннего треугольника <i>ABC</i>, взята произвольная точка <i>P</i>. Отрезки <i>AP</i>и <i>BC</i>пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что 1/<i>PQ</i>= 1/<i>PB</i>+ 1/<i>PC</i>.
В треугольнике <i>ABC</i>проведена высота <i>AH</i>, а из вершин <i>B</i>и <i>C</i>опущены перпендикуляры <i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub>1</sub>на прямую, проходящую через точку <i>A</i>. Докажите, что $\triangle$<i>ABC</i>$\sim$$\triangle$<i>HB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>.
Прямая <i>l</i>касается окружности с диаметром <i>AB</i>в точке <i>C</i>;<i>M</i>и <i>N</i> — проекции точек <i>A</i>и <i>B</i>на прямую <i>l</i>,<i>D</i> — проекция точки <i>C</i>на <i>AB</i>. Докажите, что <i>CD</i><sup>2</sup>=<i>AM</i><sup> . </sup><i>BN</i>.
На окружности даны точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>, причем точка <i>B</i>более удалена от прямой <i>l</i>, касающейся окружности в точке <i>A</i>, чем <i>C</i>. Прямая <i>AC</i>пересекает прямую, проведенную через точку <i>B</i>параллельно <i>l</i>, в точке <i>D</i>. Докажите, что <i>AB</i><sup>2</sup>=<i>AC</i><sup> . </sup><i>AD</i>.