Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды» - сложность 4 с решениями

В треугольнике<i>ABC</i>угол<i>A</i>наименьший. Через вершину<i>A</i>проведена прямая, пересекающая отрезок<i>BC</i>. Она пересекает описанную окружность в точке<i>X</i>, а серединные перпендикуляры к сторонам<i>AC</i>и<i>AB</i>— в точках<i>B</i>₁и<i>C</i>₁. Прямые<i>BC</i>₁и<i>CB</i>₁пересекаются в точке<i>Y</i>. Докажите, что<i>BY</i>+<i>CY</i>=<i>AX</i>.

По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию описывает фиксированная точка <i>K</i>подвижной окружности?