Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды» - сложность 1-2 с решениями

Внутри квадрата<i>ABCD</i>выбрана точка<i>M</i>так, что$\angle$<i>MAC</i>=$\angle$<i>MCD</i>=$\alpha$. Найдите величину угла<i>ABM</i>.

На хорде <i>AB</i> окружности <i>S</i> с центром <i>O</i> взята точка <i>C</i>. Описанная окружность треугольника <i>AOC</i> пересекает окружность <i>S</i> в точке <i>D</i>.

Докажите, что  <i>BC = CD</i>.

Из точки <i>M</i>, двигающейся по окружности, опускаются перпендикуляры <i>MP</i>и <i>MQ</i>на диаметры <i>AB</i>и <i>CD</i>. Докажите, что длина отрезка <i>PQ</i>не зависит от положения точки <i>M</i>.

В окружность вписаны равнобедренные трапеции <i>ABCD</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что <i>AC</i>=<i>A</i>₁<i>C</i>₁.