Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Угол между касательной и хордой» - сложность 1-2 с решениями

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Из точки <i>A</i>к этим окружностям проведены касательные <i>AM</i>и <i>AN</i>(<i>M</i>и <i>N</i> — точки окружностей). Докажите, что: а) $\angle$<i>ABN</i>+$\angle$<i>MAN</i>= 180^<tt>o</tt>; б) <i>BM</i>/<i>BN</i>= (<i>AM</i>/<i>AN</i>)².

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точке <i>A</i>. Через точку <i>A</i>проведена прямая, пересекающая <i>S</i>₁в точке <i>B</i>, <i>S</i>₂в точке <i>C</i>. В точках <i>C</i>и <i>B</i>проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке <i>D</i>. Докажите, что угол <i>BDC</i>не зависит от выбора прямой, проходящей через <i>A</i>.

Касательная в точке <i>A</i>к описанной окружности треугольника <i>ABC</i>пересекает прямую <i>BC</i>в точке <i>E</i>; <i>AD</i> — биссектриса треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что <i>AE</i>=<i>ED</i>.

Окружности<i>S</i>₁и<i>S</i>₂пересекаются в точках<i>A</i>и<i>B</i>. Через точку<i>A</i>проведена касательная<i>AQ</i>к окружности<i>S</i>₁(точка<i>Q</i>лежит на<i>S</i>₂), а через точку<i>B</i>-- касательная<i>BS</i>к окружности<i>S</i>₂(точка<i>S</i>лежит на<i>S</i>₁). Прямые<i>BQ</i>и<i>AS</i>пересекают окружности<i>S</i>₁и<i>S</i>₂в точках<i>R</i>и<i>P</i>. Докажите, чт...

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>P</i>. Через точку <i>A</i>проведена касательная <i>AB</i>к окружности <i>S</i>₁, а через точку <i>P</i> — прямая <i>CD</i>, параллельная <i>AB</i>(точки <i>B</i>и <i>C</i>лежат на <i>S</i>₂, точка <i>D</i> — на <i>S</i>₁). Докажите, что <i>ABCD</i> — параллелограмм.

Две окружности пересекаются в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Через точку <i>A</i>первой окружности проведены прямые <i>AP</i>и <i>AQ</i>, пересекающие вторую окружность в точках <i>B</i>и <i>C</i>. Докажите, что касательная в точке <i>A</i>к первой окружности параллельна прямой <i>BC</i>.