Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Угол между касательной и хордой» для 9 класса

Окружность <i>S</i>₁касается сторон угла <i>ABC</i>в точках <i>A</i>и <i>C</i>. Окружность <i>S</i>₂касается прямой <i>AC</i>в точке <i>C</i>и проходит через точку <i>B</i>, окружность <i>S</i>₁она пересекает в точке <i>M</i>. Докажите, что прямая <i>AM</i>делит отрезок <i>BC</i>пополам.

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>P</i>. Через точку <i>A</i>проведена касательная <i>AB</i>к окружности <i>S</i>₁, а через точку <i>P</i> — прямая <i>CD</i>, параллельная <i>AB</i>(точки <i>B</i>и <i>C</i>лежат на <i>S</i>₂, точка <i>D</i> — на <i>S</i>₁). Докажите, что <i>ABCD</i> — параллелограмм.