Олимпиадные задачи из источника «параграф 11. Разные задачи» для 9-11 класса - сложность 3-4 с решениями

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>, причем касательные к <i>S</i>₁в этих точках являются радиусами <i>S</i>₂. На внутренней дуге <i>S</i>₁взята точка <i>C</i>и соединена с точками <i>A</i>и <i>B</i>прямыми. Докажите, что вторые точки пересечения этих прямых с <i>S</i>₂являются концами одного диаметра.

На сторонах <i>AC</i>и <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>внешним образом построены квадраты <i>ACA</i>₁<i>A</i>₂и <i>BCB</i>₁<i>B</i>₂. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>B</i>,<i>A</i>₂<i>B</i>₂и <i>AB</i>₁пересекаются в одной точке.

а) Из точки <i>A</i>проведены прямые, касающиеся окружности <i>S</i>в точках <i>B</i>и <i>C</i>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>и центр его вневписанной окружности, касающейся стороны <i>BC</i>, лежат на окружности <i>S</i>. б) Докажите, что окружность, проходящая через вершины <i>B</i>и <i>C</i>любого треугольника <i>ABC</i>и центр <i>O</i>его вписанной окружности, высекает на прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>равные хорды.